Espacios vectoriales

Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo K consta de cuatro
elementos ordenados (V,K,+, ·):
un conjunto V no vacío. Nos referiremos a los elementos de este conjunto
como vectores;
un cuerpo K. Llamaremos escalares a los números en K;
una operación llamada suma de vectores, y denotada con el símbolo +,
+ : V × V → V,
que a cada par de vectores (u, v) en V le asocia un nuevo vector u+v ∈ V;
una operación llamada producto de un escalar por un vector, a la que
indicaremos con el símbolo · o simplemente escribiendo el escalar junto
al vector,
· : K × V → V,
que a cada pareja (λ, v), con λ ∈ K y v ∈ V le asocia el producto λv ∈ V.

Las operaciones de suma y producto por un escalar deben satisfacer, para
todo u, v y w en V, y para todo α y β en K, las siguientes propiedades:
Propiedades de la suma.
[S1] Conmutativa: u + v = v + u.
[S2] Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w).
[S3] Neutro de la suma: Existe un vector O ∈ V tal que
u + O = O + u = u.
Llamaremos a O el vector nulo.
[S4] Existencia de opuesto: existe un vector (−u) ∈ V de u, tal que
u + (−u) = O.
Llamaremos a −u el opuesto de u.
Propiedades del producto.
[P1] Asociativa: (αβ)u = α(βu).
[P2] Neutro del producto 1u = u.
[P3] Distributiva respecto a la suma de escalares: (α+β)u = αu+
βu.
[P4] Distributiva respecto a la suma de vectores: α(u+v) = αu+αv.